题目

求过点（0，2）的直线被椭圆x²+2y²=2所截弦的中点的轨迹方程．

提问时间：2020-10-05

答案

设直线方程为y=kx+2，
把它代入x²+2y²=2，
整理得（2k²+1）x²+8kx+6=0．
要使直线和椭圆有两个不同交点，则△>0，即k<-

6

2

或k>

6

2

．
设直线与椭圆两个交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），中点坐标为C（x，y），则
x=

x1+x2

2

=

-4k

2k2+1

，
y=

-4k2

2k2+1

+2=

2

2k2+1

．
（k<-

6

2

或k>

6

2

），
从参数方程x=

-4k

2k2+1

，y=

2

2k2+1

消去k得x²+2（y-1）²=2，
且|x|<

6

2

，0<y<

1

2

．

设直线方程为y=kx+2，把它代入x²+2y²=2，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，由此入手可以求出所截弦的中点的轨迹方程．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．

考点点评：本题考查圆锥曲线的基本知识，解题时要认真审题，仔细解答．