题目

已知圆C与圆M:(x+2）²+(y+3）²=1关于直线x+y+3=0对称
（1）求圆C的方程
（2）P是直线l：x-y+1=0上的一点,过P作圆C的两条切线交x轴于A,B两点,若△CAB的面积为根号3/3,求点P的坐标

提问时间：2020-10-04

答案

(1)M(-2,-3)关于直线x+y+3=0的对称点是C(a,b),则
MC的斜率(b+3)/(a+2)=1,b=a-1,
MC的中点((a-2)/2,(b-3)/2)在直线x+y+3=0上,
∴(a-2)/2+(b-3)/2+3=0,a+b+1=0,
解得a=0,b=-1,C(0,-1),
∴圆C的方程是x^2+(y+1)^2=1.
(2)设切线PA(PB):x0x+(y0+1)(y+1)=1,①
其中x0^2+(y0+1)^2=1,②
P(p,p+1)在切线上,∴x0p+(y0+1)(p+2)=1,③
由①,令y=0得y0=-x0x,
代入②,x0^2+(-x0x+1)^2=1,
x0x^2-2x+x0=0,
△=4-4x0^2,
|AB|=√△/|x0|,AB与圆C相切,
∴△CAB的面积=（1/2）|AB|*1=√3/3,|AB|=2/√3,
(4-4x0^2)/x0^2=4/3,x0^2=3/4,x0=土√3/2,代入②,(y0+1)^2=1/4,y0+1=土1/2,
代入③,土√3p土(p+2)=2,
(土√3土1)p=0或4,
∴p=0或2（土√3+1）,或2(土√3-1）,
∴P(0,1),(2（土√3+1）,2（土√3+1）+1),(2（土√3-1）,2（土√3-1）+1),