题目

已知实数a,b,c,满足a>b>c. 1)求证1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0 2)试将上述不等式加以推广,把1/(c-a)的分子
改为另一个大于1的自然数p,使1/(a-b)+1/(b-c)+p/(c-a)>0还是恒成立,并加以证明.
3）从另一个角度推广,自然数m,n,p满足什么条件时,不等m/(a-b)+n/(b-c)+1/(c-a)>0还是恒成立,并加以证明.
如果过程详细，可以追加分。

提问时间：2020-10-04

答案

一个一个来
1）这个比较简单,注意到(a-b)+(b-c)=a-c
令a-b=x b-c=y
那么x>0 ,b>0
1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0 变为 1/x+1/y>1/(x+y)
也即(x+y)/xy>1/(x+y)
即(x+y)^2>xy 此为x^2+xy+y^2>0 显然成立
2）即1/x+1/y>p/(x+y)
用柯西不等式有(x+y)(1/x+1/y)>=4
于是必须要4>p 那么p可以取2或3 该不等式都成立
3）应该是m/(a-b)+n/(b-c)+p/(c-a)>0
那么即m/x+n/y>p/(x+y)
也即(x+y)(m/x+n/y)>=p+1
由柯西不等式：(x+y)(m/x+n/y)>=(√m+√n)^2
于是必须要(√m+√n)^2>=p+1