题目

已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a≠0),且f(x+1)为偶函数,定义:满足f(x)=x的实数x成为函数f（x）的“不动点”,若函数f（x）有且仅有一个不动点.
是否存在区间[m,n]（m

提问时间：2020-10-03

答案

f(x+1)=ax^2+(2a+b)x+a+1为偶函数,即2a+b=0
又因为f(x)=x只有唯一解,即方程ax^2+bx=x只有一解,△=(b-1)^2=0,所以b=1,a=-1/2
f(x)=-x^2/2 + x
当对称轴x=1∈[m,n]时,值域中3n为最大值1/2,即n=1/6,显然不可能使x=1∈[m,n]
当m＞1时,f(m)=3n,f(n)=3m,显然m,n均大于0,由f(x)＞0,可知m,n∈[1,2],即3m,3n∈[3,6],但f(x)的最大值不超过1/2,显然此时m、n不存在
当n＜1时,f(m)=3m,f(n)=3n,解得m=-4,n=0