题目
如图,AB是⊙O的直径,AF是⊙O切线,CD是垂直于AB的弦,垂足为E,过点C作DA的平行线与AF相交于点F,CD=4
,BE=2.求证:
(1)四边形FADC是菱形;
(2)FC是⊙O的切线.
3 |
(1)四边形FADC是菱形;
(2)FC是⊙O的切线.
提问时间:2020-10-02
答案
证明:(1)连接OC,
∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,
∴CE=DE=
CD=
×4
=2
,
设OC=x,
∵BE=2,
∴OE=x-2,
在Rt△OCE中,OC2=OE2+CE2,
∴x2=(x-2)2+(2
)2,
解得:x=4,
∴OA=OC=4,OE=2,
∴AE=6,
在Rt△AED中,AD=
=4
,
∴AD=CD,
∵AF是⊙O切线,
∴AF⊥AB,
∵CD⊥AB,
∴AF∥CD,
∵CF∥AD,
∴四边形FADC是平行四边形,
∵AD=CD,
∴平行四边形FADC是菱形;
(2)连接OF,AC,
∵四边形FADC是菱形,
∴FA=FC,
∴∠FAC=∠FCA,
∵AO=CO
∴∠OAC=∠OCA
∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA
即∠OCF=∠OAF=90°
即OC⊥FC,
∵点C在⊙O上,
∴FC是⊙O的切线.
∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,
∴CE=DE=
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设OC=x,
∵BE=2,
∴OE=x-2,
在Rt△OCE中,OC2=OE2+CE2,
∴x2=(x-2)2+(2
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解得:x=4,
∴OA=OC=4,OE=2,
∴AE=6,
在Rt△AED中,AD=
AE2+DE2 |
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∴AD=CD,
∵AF是⊙O切线,
∴AF⊥AB,
∵CD⊥AB,
∴AF∥CD,
∵CF∥AD,
∴四边形FADC是平行四边形,
∵AD=CD,
∴平行四边形FADC是菱形;
(2)连接OF,AC,
∵四边形FADC是菱形,
∴FA=FC,
∴∠FAC=∠FCA,
∵AO=CO
∴∠OAC=∠OCA
∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA
即∠OCF=∠OAF=90°
即OC⊥FC,
∵点C在⊙O上,
∴FC是⊙O的切线.
(1)首先连接OC,由垂径定理,可求得CE的长,又由勾股定理,可求得半径OC的长,然后由勾股定理求得AD的长,即可得AD=CD,易证得四边形FADC是平行四边形,继而证得四边形FADC是菱形;
(2)首先连接OF,易证得△AFO≌△CFO,继而可证得FC是⊙O的切线.
(2)首先连接OF,易证得△AFO≌△CFO,继而可证得FC是⊙O的切线.
切线的判定与性质;菱形的判定.
此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
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已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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