题目
已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数f(x)在R上有三个零点且1是其中一个零点.设g(x)=x-1,且f(x)>g(x)的解集为(-∞,1),求实数a的取值范围.
提问时间:2020-09-30
答案
f(x)=-x^3+ax^2+bx+c
∴f'(x)=-3x^2+2ax+b
∵函数在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数
∴x=0是f'(x)的零点
∴b=0
∴f'(x)=-x(3x-2a)>0的区间要包括(0,1)
∴2a/3≥1 解得a≥3/2
又x=1是f(x)的一个零点
∴-1+a+c=0 解得c=1-a
∴f(x)=-x^3+ax^2+1-a=(x-1)(-x^2-x-1+ax+a)=-(x-1)(x^2+(1-a)x+1-a)
∵f(x)有三个零点
∴x^2+(1-a)x+1-a=0有两个根
即 △≥0 (1-a)^2-4(1-a)≥0 解得a≥1或a≤-3
又∵f(x)>g(x)的解集为(-∞,1),
∴-(x-1)(x^2+(1-a)x+1-a)>x-1
→-(x-1)(x^2+(1-a)x+2-a)>0
∴x^2+(1-a)x+2-a>0
∴△<0 (1-a)^2-4(2-a)<0
解得-1-2√2<a<-1+2√2
综上可得 3/2≤a<-1+2√2
∴f'(x)=-3x^2+2ax+b
∵函数在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数
∴x=0是f'(x)的零点
∴b=0
∴f'(x)=-x(3x-2a)>0的区间要包括(0,1)
∴2a/3≥1 解得a≥3/2
又x=1是f(x)的一个零点
∴-1+a+c=0 解得c=1-a
∴f(x)=-x^3+ax^2+1-a=(x-1)(-x^2-x-1+ax+a)=-(x-1)(x^2+(1-a)x+1-a)
∵f(x)有三个零点
∴x^2+(1-a)x+1-a=0有两个根
即 △≥0 (1-a)^2-4(1-a)≥0 解得a≥1或a≤-3
又∵f(x)>g(x)的解集为(-∞,1),
∴-(x-1)(x^2+(1-a)x+1-a)>x-1
→-(x-1)(x^2+(1-a)x+2-a)>0
∴x^2+(1-a)x+2-a>0
∴△<0 (1-a)^2-4(2-a)<0
解得-1-2√2<a<-1+2√2
综上可得 3/2≤a<-1+2√2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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