题目

设y=f(x)为定义域是R上的偶函数,其图像关于直线X=1对称,对任意X1,X2∈［0,1/2］
,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2).
设f(1)=2,
求证他是周期函数,并求出周期.
因为y=f(x)关于X=1对称，所以f(x)=f(1+(1-x))=f(2-x)
主要是f(x)=f(1+(1-x))不懂

提问时间：2020-09-23

答案

先回答补充吧,f关于x=1对称也就是说x轴上到1距离相等的点的函数值相同.比如x=-1,到1的距离是2,-1关于x=1的对称点就是1+2,即3.换成参数a的话就是a关于x=1对称点为1-a+1(a1).即都是2-a.所以f(a)=f(2-a),也可以写成f(1-a)=f(1+a).
证明一个函数是周期函数需要证明fx=f(x+a);a为周期对定义域内x成立
f关于x=1对称,所以f(x1)=f(2-x1),f(x2)=f(2-x2).又f(x2+x1)=f(x1)f(x2)=f(2-x1)f(x2)=f(x1)f(2-x2)=f(2-x1)f(2-x2)=f(2-x1+x2)=f(2-x2+x1)=f(4-x1-x2).由此可以看出f(x1+x2)关于x=2对称.由f关于x=1对称得f(x)=f(2-x),由f关于x=2对称得f(2-x)=f(2+x),即f(x)=f(2+x).周期是2