题目

已知函数f(x)＝

sinx

+

cosx

，(0≤x≤

π

2

)，则f（x）的值域为 ___ ．

提问时间：2020-08-29

答案

由题意知，f(x)=

sinx

+

cosx

，(0≤x≤

π

2

)，两边平方得，
f2(x)=sinx+cosx+2

sinxcosx

=

2

sin(x+

π

4

)+

2sin2x

，
∵0≤x≤

π

2

，
∴当x=

π

4

时，函数f²（x）取到最大值2

2

=2

3

2

；当x=0时，f²（x）取到最小值1，
∵0≤x≤

π

2

，
∴f(x)=

sinx

+

cosx

>0，
∴f（x）的值域为[1，2

3

4

]．
故答案为：[1，2

3

4

]．

根据函数解析式的特点，需要将两边进行平方，利用倍角公式和两角和差公式进行化简，再由x的范围和解析式求出变形后的函数的值域，再对原函数进行开方后求出值域．

本题考点：复合三角函数的单调性．

考点点评：本题考查了复合三角函数的值域，因解析式中含有根号故需要平方后，利用倍角公式和两角和差公式进行化简，根据正弦函数的性质和x的范围求出函数的值域，考查了分析问题和解决问题的能力．