题目

设x，y，z∈R+，且3^x=4^y=6^z．
（1）求证：

1

z

−

1

x

＝

1

2y

；  
（2）比较3x，4y，6z的大小．

提问时间：2020-08-13

答案

（1）证明：设3^x=4^y=6^z=t．∵x＞0，y＞0，z＞0，∴t＞1，lgt＞0，
则x＝log3t＝

lgt

lg3

，y＝log4t＝

lgt

lg4

，z＝log6t＝

lgt

lg6

．
∴

1

z

−

1

x

＝

lg6

lgt

−

lg3

lgt

＝

lg2

lgt

＝

lg4

2lgt

＝

1

2y

；
（2）∵3x＞0，4y＞0，且

3x

4y

＝

3 lgt lg3

4 lgt lg4

＝log3

4	64

＜1．
∴3x＜4y，同理4y＜6z，
故3x＜4y＜6z．

（1）设3^x=4^y=6^z=t，化指数式为对数式后求出x，y，z，然后直接代入等式两端加以证明；
（2）因为x，y，z均为正数，利用作商法证明．

本题考点：指数式与对数式的互化．

考点点评：本题考查了指数式和对数式的互化，考查了作商法进行正实数的大小比较，是基础题．