题目

讨论函数f(x)=((x-1)(x-2)^2)的绝对值的可导性,并求出可导点处的导数

提问时间：2020-08-10

答案

f(x)=|x-1|(x-2)^2,为分段函数,可表示为：
当x>=1时 ,f(x)=(x-1)(x-2)^2
当x<1时 ,f(x)=-(x-1)(x-2)^2
lim[x-->0+][f(1+x)-f(1)]/x=lim[x-->0+]x(x-1)^2/x=1
lim[x-->0-][f(1+x)-f(1)]/x=lim[x-->0+]-x(x-1)^2/x=-1
∴当x=1时,f(x)不可导.
当x>1时 ,f'(x)=(x-2)^2+2(x-1)(x-2)=(3x-4)(x-2)=3x^2-10x+8
当x<1时 ,f'(x)=-(x-2)^2-2(x-1)(x-2)=-(3x-4)(x-2)=-3x^2+10x-8