题目
已知定义域为R的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=ln x-ax+1(a∈R).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x)在R上恰有5个零点,求实数a的取值范围.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x)在R上恰有5个零点,求实数a的取值范围.
提问时间:2020-08-08
答案
(1)由奇函数的性质可得,f(0)=0.设x<0,则-x>0,故f(-x)=ln(-x)-a(-x)+1=-f(x),
求得f(x)=-ln(-x)-ax-1,
故函数f(x)的解析式为f(x)=
.
(2)若函数y=f(x)在R上恰有5个零点,则这5个零点关于原点对称,故方程f(x)=lnx-ax+1=0有2个正实数根,
即函数y=lnx 与直线y=ax-1在(0,+∞)上有两个交点.
当y=lnx的图象与直线y=ax-1相切时,设切点为(m,lnm),则切线斜率为 (lnm)′=
,
则切线方程为 y-lnm=
(x-m),即切线为 y=
x-1+lnm,故有
,解得 a=m=1.
要使函数y=lnx 与直线y=ax-1在(0,+∞)上有两个交点,则有 0<a<1,即实数a的取值范围为(0,1).
求得f(x)=-ln(-x)-ax-1,
故函数f(x)的解析式为f(x)=
|
(2)若函数y=f(x)在R上恰有5个零点,则这5个零点关于原点对称,故方程f(x)=lnx-ax+1=0有2个正实数根,
即函数y=lnx 与直线y=ax-1在(0,+∞)上有两个交点.
当y=lnx的图象与直线y=ax-1相切时,设切点为(m,lnm),则切线斜率为 (lnm)′=
1 |
m |
则切线方程为 y-lnm=
1 |
m |
1 |
m |
|
要使函数y=lnx 与直线y=ax-1在(0,+∞)上有两个交点,则有 0<a<1,即实数a的取值范围为(0,1).
(1)由奇函数的性质可得f(0)=0.设x<0,则-x>0,故f(-x)=ln(-x)-a(-x)+1=-f(x),求得f(x)=-ln(-x)-ax-1,由此可得函数f(x)的解析式.
(2)若函数y=f(x)在R上恰有5个零点,则这5个零点关于原点对称,故方程f(x)=lnx-ax+1=0有2个正实数根,即函数y=lnx 与直线y=ax-1在
(0,+∞)上有两个交点.当y=lnx的图象与直线y=ax-1相切时求得 a=1,从而求得实数a的取值范围.
(2)若函数y=f(x)在R上恰有5个零点,则这5个零点关于原点对称,故方程f(x)=lnx-ax+1=0有2个正实数根,即函数y=lnx 与直线y=ax-1在
(0,+∞)上有两个交点.当y=lnx的图象与直线y=ax-1相切时求得 a=1,从而求得实数a的取值范围.
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本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,函数的奇偶性的应用,求函数的解析式,体现了转化的数学思想,属于中档题.
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