题目

在平面直角坐标系中,点P(x,y)为动点,已知点A(根号2,0),B(负根号2,0),
直线PA与PB的斜率之积为-1/2.
(1)求动点P的轨迹E的方程；【已解决,答案x^2/2+y^2=1(x≠±根号2,y≠0)】
(2)过点F(1,0)的直线L交曲线E于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为Q(M,Q不重合),求证：直线MQ过定点.

提问时间：2020-08-07

答案

点F(1,0)是椭圆x^2+y^2=1 的焦点,由已知条件得：直线L的斜率不为0；
所以可设方程为：x=ty+1;代入椭圆方程中的：（2+t^2)y^2+2ty-1=0
设M(x1,y1); N(x2,y2);那么：y1+y2= - 2t/(2+t^2); y1y2=- 1/(2+t^2);
据题意：Q(x2,-y2)； 直线MQ的方程为：y-y1=[(y1+y2)/(x1-x2)](x-x1)
因为：x1-x2=(ty1+1)-(ty2+1)=t(y1-y2); 所以直线MQ的方程y-y1=[-2/(2+t^2)(y1-y2)](x-x1);
令 y=0得：x=x1+(-y1)[(2+t^2)(y1-y2)/(-2)]
=x1+(1+t^2/2)(y1^2-y1y2)=x1+(1+t^2/2)y1^2-(1+t^2/2)y1y2=3
所以直线MQ过定点（3,0）