题目

已知

a

＝(1−cosx，2sin

x

2

)，

b

＝(1+cosx，2cos

x

2

)
（1）若f(x)＝2+sinx−

1

4

|

a

-

b

|²，求f（x）的表达式．
（2）若函数f（x）和函数g（x）的图象关于原点对称，求g（x）的解析式．
（3）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[−

π

2

，

π

2

]上是增函数，求实数λ的取值范围．

提问时间：2020-08-07

答案

解（1）：f(x)＝2+sinx−

1

4

[4cos2x+4(sin

x

2

−cos

x

2

)2]，
=2+sinx-cos²x-1+sinx=sin²x+2sinx
（2）：设函数y=f（x）的图象上任一点M（x₀，y₀）
关于原点的对称点为N（x，y）
则x₀=-x，y₀=-y，
∵点M在函数y=f（x）的图象上
∴-y=sin²（-x）+2sin（-x），即y=-sin²x+2sinx
∴函数g（x）的解析式为g（x）=-sin²x+2sinx
（3）∵h（x）=-（1+λ）sin²x+2（1-λ）sinx+1，
设sinx=t，
∵x∈[−

π

2

，

π

2

]
∴-1≤t≤1，
则有h（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1）．
①当λ=-1时，h（t）=4t+1在[-1，1]上是增函数，∴λ=-1，
②当λ≠-1时，对称轴方程为直线t＝

1−λ

1+λ

ⅰ） λ＜-1时，

1−λ

1+λ

≤−1，解得λ＜-1
ⅱ）当λ＞-1时，

1−λ

1+λ

≥1，解得-1＜λ≤0综上，λ≤0．

（1）根据

a

＝(1−cosx，2sin

x

2

)，

b

＝(1+cosx，2cos

x

2

)，可求得

a

−

b

=（-2cosx，2sin

x

2

-2cos

x

2

），|

a

−

b

|2=4cos²x+4-4sinx，从而可求得f（x）的表达式；
（2）函数y=f（x）的图象上任一点M（x₀，y₀），它关于原点的对称点为N（x，y），x₀=-x，y₀=-y，利用点M在函数y=f（x）的图象上，将其坐标代入y=f（x）的表达式即可；
（3）可令t=sinx，将h（x）=g（x）-λf（x）+1在[−

π

2

，

π

2

]转化为：h（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1），对t²的系数-（1+λ）分类讨论，利用一次函数（λ=-1）与二次函数（λ≠-1）的性质讨论解决即可．

本题考点：三角函数的化简求值；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．

考点点评：本题考查三角函数的化简求值，二次函数的性质，难点在于通过三角换元得到“h（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1）”后，对t²的系数-（1+λ）分类讨论，也是易错点，属于难题．