题目

极限lim[x-x^2ln(1+1/x)] 其中x趋向于正无穷大
lim[x-x^2ln(1+1/x)]
设t=1/x
=lim[1/t-1/t^2ln(1+t)] t→0
=lim[1/t-1/t]=0 t→0
为什么不能这么做

提问时间：2020-08-07

答案

等价无穷小不能随便用的
只适用于乘积,加减和指数等情况是不能用的（即使有时候结果恰好是对的）
举个例子 ( x - sinx ) / x^3 在 x→0的极限,如果用 sinx~x代入就等于0了,但显然不对
你的题目正确解法如下：
lim(x→+∞) [ x - x² ln(1+ 1/x ) ]
t = 1/x ,t→0
= lim(t→0) [1/t - 1/t² ln(1+t) ]
= lim(t→0) [ t - ln(1+t) ] / t²
洛必达法则
= lim(t→0) [ 1 - 1/(1+t) ] / (2t)
= lim(t→0) 1/ [ 2(1+t) ]
= 1/2