题目

已知关于x的方程2x²-（根号3 +1）x+m的两根分别为sinα,cosα,α∈（0,2π）,求
①（sinα）/（1-cotα）+（cosα）/（1-tanα）的值
②m的值
③方程的两根及此时α的值

提问时间：2020-08-07

答案

关于x的方程2x²-（根号3 +1）x+m的两根分别为sinα,cosα
sinα+cosα=（√3 +1）/2 sinαcosα=m/2
①（sinα）/（1-cotα）+（cosα）/（1-tanα）的值
=（sinα）/（1-cosα/sinα）+（cosα）/（1-sinα/cosα）
=（sinα）^2/（sina-cosα）+（cosα）^2/（cosα-sinα）
=（sinα）^2/（sina-cosα）-（cosα）^2/（sinα-cosα）
=(（sinα）^2-（cosα）^2)/（sinα-cosα）
=(sinα+cosα)（sinα-cosα）/（sinα-cosα）
=(sinα+cosα)
=（√3 +1）/2
sinα+cosα=（√3 +1）/2 sinαcosα=m/2
sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=(√3 +1)^2/2^2
1+2*m/2=(4+2√3)/4
② m=√3/2
③方程的两根及此时α的值
原方程为:2x^2-(√3+1)x+√3/2=0,
解之得:x1=1/2,x2=√3/2
∴sina=1/2,cosa=√3/2;或sina=√3/2,cosa=1/2
又知:a∈(0,2π),∴a=π/6,或a=π/3.