题目

对于任意k∈[-1，1]，函数f（x）=x²+（k-4）x-2k+4的值恒大于零，则x的取值范围是______．

提问时间：2020-08-07

答案

∵任意k∈[-1，1]，函数f（x）=x²+（k-4）x-2k+4＞0，恒成立，
∴f（k）=k（x-2）+x²-4x+4＞0为一次函数，
∴

f(−1)＞0 f(1)＞0

，
∴-1（x-2）+x²-4x+4＞0，
（x-2）+x²-4x+4＞0，
解得x＜1或x＞3，
故答案为（-∞，1）∪（3，+∞）．

由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，比较函数值的大小，求出最大值，从而求解．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：此题是一道常见的题型，把关于x的函数转化为关于k的函数，构造一次函数，因为一次函数是单调函数易于求解，最此类恒成立题要注意．