题目

若二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[-1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．

提问时间：2020-08-07

答案

（1）由题意可知，f（0）=1，解得，c=1，
由f（x+1）-f（x）=2x．可知，[a（x+1）²+b（x+1）+1]-（ax²+bx+1）=2x，
化简得，2ax+a+b=2x，
∴

2a=2 a+b=0

，
∴a=1，b=-1．
∴f（x）=x²-x+1；
（2）不等式f（x）＞2x+m，可化简为x²-x+1＞2x+m，
即x²-3x+1-m＞0在区间[-1，1]上恒成立，
设g（x）=x²-3x+1-m，则其对称轴为x=

3

2

，
∴g（x）在[-1，1]上是单调递减函数．
因此只需g（x）的最小值大于零即可，
g（x）_min=g（1），
∴g（1）＞0，
即1-3+1-m＞0，解得，m＜-1，
∴实数m的取值范围是m＜-1．

（1）由二次函数可设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=1求得c的值，由f（x+1）-f（x）=2x可得a，b的值，即可得f（x）的解析式；
（2）欲使在区间[-1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只须x²-3x+1-m＞0在区间[-1，1]上恒成立，也就是要x²-3x+1-m的最小值大于0，即可得m的取值范围．

本题考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，以及函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化，主要涉及单调性在函数的最值求解中的应用．属于中档题．