题目

若方程

3

sinx+cosx=a在[0，2π]上有两个不同的实数解，则a的取值范围为______．

提问时间：2020-08-07

答案

方程

3

sinx+cosx=a可化为2sin（x+

π

6

）=a，
可化为sin（x+

π

6

）=

a

2

，
作出函数y=sin（x+

π

6

）在x∈[0，2π]的图象，

由图可知，当-1＜

a

2

＜1且

a

2

≠

1

2

，即-2＜a＜2且a≠1时，函数图象有两个不同的交点，
故方程

3

sinx+cosx=a在[0，2π]上有两个不同的实数解，
故答案为：-2＜a＜2且a≠1

化已知问题为y=sin（x+

π

6

）在x∈[0，2π]的图象与y=

a

2

的交点问题，数形结合可得．

本题考点：两角和与差的正弦函数．

考点点评：本题考查两角和与差的三角函数，数形结合是解决问题的关键，属基础题．