题目

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°．E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点．

（Ⅰ）求证：BF∥平面A′DE；
（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值．

提问时间：2020-08-03

答案

（Ⅰ）证明：取A′D的中点G，连接GF，GE，由条件易知FG∥CD，FG=12CD．BE∥CD，BE=12CD．所以FG∥BE，FG=BE．故所以BF∥EG．又EG⊂平面A'DE，BF⊄平面A'DE所以BF∥平面A'DE．（Ⅱ）在平行四边形ABCD中，设BC=a，则AB...

（Ⅰ）欲证BF∥平面A'DE，只需在平面A'DE中找到一条线平行于BF即可；而取A′D的中点G，并连接GF、GE，易证四边形BEGF为平行四边形，则BF∥EG，即问题得证．
（Ⅱ）欲求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值，需先找到直线FM与平面A′DE所成的角；而连接A′M，CE，由平面A′DE⊥平面BCD易证CE⊥A′M，且由勾股定理的逆定理可证CE⊥DE；再取A′E的中点N，连线NM、NF，则NF⊥平面A′DE，即∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角；最后在Rt△FMN中，易得cos∠FMN的值．

本题考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．

考点点评：本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系及线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力．