题目

一元二次方程根与系数关系
当K取何值时,X方-（2K-3）X+2K-4=0
(1)有两个正根?
（2）有两个异号根,且正根绝对值大?
（3）一根大于3,另一根小于3?

提问时间：2020-08-03

答案

x^2 - (2 k - 3) x + 2 k - 4 = 0 ,
Δ = (2 k - 3)^2 - 4 (2 k - 4) = 4 k^2 - 20 k + 25 = (2 k - 5)^2 >= 0 ,
当且仅当 k = 5/2 时,判别式为 0 .
x1 + x2 = 2 k - 3 ,x1 x2 = 2 k - 4 .
(1)
有两个正根,说明：它们同号,且均大于0 .
所以 x1 + x2 > 0 ,x1 x2 > 0 ,
所以 2 k - 3 > 0 ,2 k - 4 > 0 ,
所以 k > 3/2 ,且 k > 2 ,
所以 当 k > 2 时,方程有两个正实根.
当 k > 2 且 k ≠ 5/2 时,方程有两个不相等的正实根.
(2)
因为有两个异号根,且正根绝对值大,
所以 x1 + x2 > 0 ,x1 x2 < 0 ,
所以 2 k - 3 > 0 ,2 k - 4 < 0 ,
所以 k > 3/2 ,且 k < 2 ,
所以 3/2 < k < 2 时,方程有两个异号根,且正根绝对值大.
(3)
因为一根大于3,另一根小于3,
所以 方程的两个根分别减去 3 后,所得值异号,
所以 (x1 - 3) (x2 - 3) < 0 ,
所以 x1 x2 - 3 (x1 + x2) + 9 < 0 ,
所以 2 k - 4 - 3 (2 k - 3) + 9 < 0 ,
所以 - 4 k + 14 < 0 ,
所以 k > 7/2 ,
所以 当 k > 7/2 时,方程的两根,一个大于3,一个小于3.