题目
在△ABC中,∠ACB=90°,CH⊥AB于H,△ACD和△BCE均为等边三角形.
(1)求证:△DAH∽△ECH;
(2)若AH:HB=1:4,求S△DAH:S△ECH.
(1)求证:△DAH∽△ECH;
(2)若AH:HB=1:4,求S△DAH:S△ECH.
提问时间:2020-08-03
答案
(1)证明:∵△ACD和△BCE均为等边三角形,
∴AC=AD,BC=CE,∠DAC=∠BCE.
在△ABC中,∠ACB=90°,CH⊥AB于H,
∴∠CAB+∠ACH=∠CAB+∠ABC=90°.
∴∠ACH=∠ABC.
同理∠CAB=∠HCB.
∴∠DAC+∠CAB=∠BCE+∠HCB,△ACH∽△CBH.
∴AH:CH=AC:BC=AD:CE,∠DAH=∠ECH.
∴△DAH∽△ECH.
(2)∵AH:HB=1:4,
∴HB=4AH.
∵△ACH∽△CBH,
∴CH2=AH•HB=4AH2
∵△DAH∽△ECH,
∴S△DAH:S△ECH.=AH2:CH2=1:4.
∴AC=AD,BC=CE,∠DAC=∠BCE.
在△ABC中,∠ACB=90°,CH⊥AB于H,
∴∠CAB+∠ACH=∠CAB+∠ABC=90°.
∴∠ACH=∠ABC.
同理∠CAB=∠HCB.
∴∠DAC+∠CAB=∠BCE+∠HCB,△ACH∽△CBH.
∴AH:CH=AC:BC=AD:CE,∠DAH=∠ECH.
∴△DAH∽△ECH.
(2)∵AH:HB=1:4,
∴HB=4AH.
∵△ACH∽△CBH,
∴CH2=AH•HB=4AH2
∵△DAH∽△ECH,
∴S△DAH:S△ECH.=AH2:CH2=1:4.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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