题目

求极限 lim(x->0)[√（1+tanx)-√（1+sinx)]/[x√（1+sin²x)-x]

提问时间：2020-08-02

答案

lim(x->0) [√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x√(1+sin²x)-x]
=lim [√(1+tanx)-√(1+sinx)]*[√(1+tanx)+√(1+sinx)] / [x√(1+sin²x)-x]*[√(1+tanx)+√(1+sinx)]
=lim [(1+tanx)-(1+sinx)]*[√(1+sin²x)+1] / x*[sin²x]*[√(1+tanx)+√(1+sinx)]
=lim [tanx-sinx]*[√(1+sin²x)+1] / x*[sin²x]*[√(1+tanx)+√(1+sinx)]
=lim [tanx-sinx] / x*[sin²x] * lim [√(1+sin²x)+1] / [√(1+tanx)+√(1+sinx)]
=lim [tanx-sinx] / x*[sin²x]
=lim [1/cosx - 1] / x*sinx
根据等价无穷小
=lim x^2 / 2x^2
=1/2
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