题目

设f(x)＝

ex

1+ax2

，其中a为正实数．
（1）当a＝

4

3

时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）为[

1

2

， 

3

2

]上的单调函数，求a的取值范围．

提问时间：2020-07-31

答案

∵f′(x)＝

(ax2−2ax+1)ex

(1+ax2)2

，
（1）当a＝

4

3

时，若f'（x）=0，
则4x2−8x+3＝0⇒x1＝

1

2

， x2＝

3

2

，

x	(−∞， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，  3 2 )	3 2	( 3 2 ， +∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴x1＝

1

2

是极大值点，x2＝

3

2

是极小值点；　　　　
（2）记g（x）=ax²-2ax+1，则g（x）=a（x-1）²+（1-a），
∵f（x）为[

1

2

， 

3

2

]上的单调函数，
则f'（x）在[

1

2

， 

3

2

]上不变号，
∵

ex

(1+ax2)2

＞0，
∴g（x）≥0或g（x）≤0对x∈[

1

2

， 

3

2

]恒成立，
由g（1）≥0或g(

1

2

)≤0⇒0＜a≤1或a≥

4

3

，
∴a的取值范围是0＜a≤1或a≥

4

3

．

（1）把a=

4

3

代入f(x)＝

ex

1+ax2

，对f（x）进行求导，令f′（x）=0，解出其极值点；
（2）已知f（x）上的为单调函数，可知f′（x）在[

1

2

， 

3

2

]恒大于等于0，或恒小于等于0，利用求出a的取值范围．

本题考点：利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系．

考点点评：此题主要考查利用导数求函数的单调性，解此题的关键是对f（x）能够正确求导，利用了转化的思想，是一道中档题；