题目

已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，满足

MF1

⊥

MF2

的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ___ ．

提问时间：2020-07-30

答案

设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），可得F1（-c，0），F2（c，0）∵MF1•MF2=0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又∵M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，可得c＜b，平方得c2＜b2，即c2＜a2-c2...

根据垂直两个向量的数量积为0，可得M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．而M总在椭圆内部，说明该圆内含于椭圆，由此建立关于b、c的不等式，结合椭圆的平方关系化简整理即可得到椭圆离心率e的取值范围．

本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：本题给满足指向椭圆两个焦点的向量数量积为0，且该点总在椭圆内部，求椭圆的离心率范围，着重考查了椭圆的方程与简单几何性质等知识，属于基础题．