题目

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1.判断题x^2+y^2+6x-7=0与抛物线y^2=4x的准线的位置关系
2.抛物线y^2=2px(p>0),直线l的倾斜角为π/3,且过抛物线焦点,并与抛物线交与A,B两点,若S△AOB=4根号3.求抛物线方程
3.一直点A（2,8）B（x1,y1）C(x2,y2)在抛物线y^2=2px上,△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合
（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标
（2）求线段BC中点M的坐标

提问时间：2020-07-30

答案

1.
(x+3)^2+y^2=16,是圆心为(-3,0)、半径为4的圆
y^2=4x,准线：x=-1
显然相交
2.
l：y=kx+b
k=tan(π/3)=3^0.5,(-p/2,0)过l：0=3^0.5(-p/2)+b
b=(3^0.5)p/2
所以l：(3^0.5)x-y+(3^0.5)p/2=0
O到l距离：h=(3^0.5)p/2/(3+1)^0.5=(3^0.5)p/4
将l代入抛物线方程：3x^2+px+3p^2/4=0
xA+xB=-p/3
S△AOB=AB*h/2=(xA+p/2+xB+p/2)h/2
=(3^0.5)p^2/12=4(3^0.5)
p=4(3^0.5)
所以抛物线方程为y^2=8(3^0.5)x
3.
(1)
点在抛物线上：64=4p,p=16
所以抛物线方程为y^2=32x,焦点F坐标(8,0)
(2)
重心就是焦点：(2+x1+x2)/3=8,(8+y1+y2)/3=0
x1+x2=22,y1+y2=-8
所以M(11,-4)