题目
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x)+2f(2),若函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且f(3)=2,则f(2015)等于( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
提问时间:2020-07-27
答案
∵函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,
∴当函数y=f(x-1)的图象向左平移1个单位得到函数y=f(x)的图象,即函数f(x)关于直线x=0对称,
则函数f(x)为偶函数,
令x=-2,
则由f(x+4)=f(x)+2f(2),得f(-2+4)=f(-2)+2f(2),
即f(2)=f(2)+2f(2),即f(2)=0,
则f(x+4)=f(x)+2f(2)=f(x),
即函数f(x)的周期为4,
则f(2015)=f(503×4+3)=f(3)=2,
故选:A
∴当函数y=f(x-1)的图象向左平移1个单位得到函数y=f(x)的图象,即函数f(x)关于直线x=0对称,
则函数f(x)为偶函数,
令x=-2,
则由f(x+4)=f(x)+2f(2),得f(-2+4)=f(-2)+2f(2),
即f(2)=f(2)+2f(2),即f(2)=0,
则f(x+4)=f(x)+2f(2)=f(x),
即函数f(x)的周期为4,
则f(2015)=f(503×4+3)=f(3)=2,
故选:A
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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