题目
已知x=1是函数f(x)=
ax3−
x2+(a+1)x+5的一个极值点.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若曲线y=f(x)与直线y=2x+m有三个交点,求实数m的取值范围.
1 |
3 |
3 |
2 |
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若曲线y=f(x)与直线y=2x+m有三个交点,求实数m的取值范围.
提问时间:2020-07-27
答案
(I)f′(x)=ax2-3x2+a+1
由f′(1)=0得:a-3+a+1=0
即a=1
∴f(x)=
x3−
x2+2x+5
(II)曲线y=f(x)与直线y=2x+m有三个交点
即
x3−
x2+2x+5-2x-m=0有三个根
即g(x)=
x3−
x2+5−m有三个零点
由g′(x)=x2-3x=0,得x=0或x=3
由g′(x)>0得x<0或x>3,由g′(x)<0得0<x<3
∴函数g(x)在(-∞,0)上为增函数,在(0,3)上为减函数,在(3,+∞)上为增函数
要使g(x)有三个零点,
只需
即
解得:
<m<5
由f′(1)=0得:a-3+a+1=0
即a=1
∴f(x)=
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3 |
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(II)曲线y=f(x)与直线y=2x+m有三个交点
即
1 |
3 |
3 |
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即g(x)=
1 |
3 |
3 |
2 |
由g′(x)=x2-3x=0,得x=0或x=3
由g′(x)>0得x<0或x>3,由g′(x)<0得0<x<3
∴函数g(x)在(-∞,0)上为增函数,在(0,3)上为减函数,在(3,+∞)上为增函数
要使g(x)有三个零点,
只需
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解得:
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2 |
(I)利用三次函数在极值点处的导数为零,即可解得a的值,进而确定函数的解析式;
(II)将两曲线有三个交点问题,转化为函数g(x)=f(x)-(2x+m)有三个零点问题,利用导数研究函数g(x)的单调性和极值,找到问题的充要条件,列不等式即可解得m的范围
(II)将两曲线有三个交点问题,转化为函数g(x)=f(x)-(2x+m)有三个零点问题,利用导数研究函数g(x)的单调性和极值,找到问题的充要条件,列不等式即可解得m的范围
利用导数研究函数的极值;函数在某点取得极值的条件.
本题主要考查了导数在函数极值、单调性中的应用,三次函数的图象和性质,构造函数研究函数零点分布问题,转化化归的思想方法
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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