题目

已知顶点在原点 焦点在x轴的正半轴上的抛物线被直线y=2x+1截得弦ab的长为根号15.求抛物线方程 2 .在抛
已知顶点在原点 焦点在x轴的正半轴上的抛物线被直线y=2x+1截得弦ab的长为根号15.
（1）求抛物线方程 .（2） 在抛物线的一段弧AOB上求一点P 使得三角形APB的面积最大

提问时间：2020-07-26

答案

1）设抛物线方程为 y^2=2px（p>0）,将 y=2x+1 代入得
(2x+1)^2=2px,即 4x^2+(4-2p)x+1=0,（*）
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则 Δ=(4-2p)^2-16>0,即 p>4.
由（*）得 x1+x2=(p-2)/2,x1*x2=1/4,
所以|AB|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=5(x2-x1)^2=5[(x1+x2)^2-4x1*x2]=5[(p-2)^2/4-1]=15,
解得 p=6,
因此,抛物线方程为 y^2=12x.
2）由已知,过P且与AB平行的直线L与抛物线相切.
设L方程为 y=2x+b,代入抛物线方程得 (2x+b)^2=12x,
即 4x^2+(4b-12)x+b^2=0,（**）
所以 Δ=(4b-12)^2-16b^2=0,
解得 b=3/2.
代入（**）可得 x=3/4,所以 y=2*3/4+3/2=3,
即 所求P点坐标为（3/4,3）.