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题目
如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=1,∠A=90°,点E为腰AC的中点,点F在底边BC上,且FE⊥BE,求△CEF的面积.

提问时间:2020-07-26

答案
解法1:如图,过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D.(2分)
因为∠ABE+∠AEB=90°,∠CED+∠AEB=90°,所以∠ABE=∠CED.
于是Rt△ABE∽Rt△CED,(4分)
所以
S△CDE
S△EAB
=(
CE
AB
)2
1
4
, 
CE
CD
AB
AE
=2
.((6分))
又∠ECF=∠DCF=45°,所以CF是∠DCE的平分线,点F到CE和CD的距离相等,
所以
S△CEF
S△CDF
CE
CD
=2
.(8分)
所以S△CEF
2
3
S△CDE
2
3
×
1
4
S△ABE
2
3
×
1
4
×
1
2
S△ABC
1
24
.(10分)

解法2:如图,作FH⊥CE于H,设FH=h.(2分)因为∠ABE+∠AEB=90°,∠FEH+∠AEB=90°,所以∠ABE=∠FEH,
于是Rt△EHF∽Rt△BAE.(4分)
因为
EH
FH
AB
AE
. 即EH=2h
,所以HC=
1
2
−2h

又因为HC=FH,所以h=
1
2
−2h , h=
1
6
,(8分)
所以S△CEF
1
2
EC×FH=
1
2
×
1
2
×
1
6
1
24
.(10分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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