题目

已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，第三边长为5．
（1）试说明方程必有两个不相等的实数根；
（2）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（3）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．

提问时间：2020-07-26

答案

（1）证明：∵△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，
∴△＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2﹚当△ABC是以BC为斜边的直角三角形时，有AB²+AC²=BC²
又∵BC=5，两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根．
∴AB²+AC²=25，AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，
由（AB+AC）²-2AB•AC=25
∴（2k+3）²-2•（k²+3k+2）=25
∴k²+3k-10=0，（k-2）（k+5）=0，
∴k₁=2或k₂=-5
又∵AB+AC=2k+3＞0
∴k₂=-5舍去
∴k=2；
（3）∵△ABC是等腰三角形；
∴当AB=AC时，△=b²-4ac=0，
∴（2k+3）²-4（k²+3k+2）=0
解得k不存在；
当AB=BC时，即AB=5，
∴5+AC=2k+3，5AC=k²+3k+2，
解得k=3或4，
∴AC=4或6
∴△ABC的周长为14或16．