题目

求一个圆盘的转动惯量
一个质量为m,半径为r的薄圆盘,绕通过圆心垂直于圆盘的轴上的一点转动,(轴的重量不计,点到圆盘的距离为L)求圆盘的转动惯量.最好能解释的清楚一点.
先谢过!
再描述的详细一点:
薄圆盘是绕一根与圆盘平行的轴旋转,轴到圆盘距离为L,且这根轴向圆盘所在平面所做的投影过圆心.
不知道这样是否清楚.
上张简单的示意图,不知能否看清: 就是绕图中的X轴转动.

提问时间：2020-07-26

答案

答案是ml^2+(mr^2)/4
先设要求的转动惯量为I
楼主见过周星驰电影功夫里的那个棒棒糖吗,现在把转动轴移到圆盘上,并使轴过圆心,对,就是像那个棒棒糖一样,以那个棒为轴.然后设棒棒糖转动惯量为I0.现在以通过圆盘圆心,垂直于圆盘面的直线为轴,注意现在这个模型,是把圆盘放平了,转动轴和盘面垂直了,设这时转动惯量为I1.
我之所以老强调转动轴的位置,因为转动惯量都是要选定转动轴后才有具体值的,转轴不同,转动惯量大小就不同.就像选定了海平面的高度才能测出山的海拔高度一样.
好,现在开始解,先计算I1,把圆盘切割成无数个同心圆环,很容易积出来I1＝（mr^2）/2,楼主这个总会吧,然后根据垂直轴定理,很容易推知棒棒糖的转动惯量I0＝0.5I1＝（mr^2）/4,楼主去查一下啥叫垂直轴定理就懂了.最后一步,根据平行轴定理,I=I1+ml^2＝ml^2+(mr^2)/4,平行轴定理更常用,楼主去查.
OK,解完.
PS:不用平行轴和垂直轴定理也可以直接积分,不过稍微有点麻烦,需换元,要打出来比较烦.