题目

设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f(xy)＝f(x)+f(y)，f(

1

3

)＝1
（1）求f(

1

9

)；
（2）若f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．

提问时间：2020-07-26

答案

（1）由已知，令x=y=

1

3

，则f（

1

9

）=f（

1

3

）+f（

1

3

）=2．
（2）∵f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜2=f（

1

9

），
又由函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数：得

x＞0 2−x＞0 x(2−x)＞ 1 9

解之得：x∈(1−

2 2

3

，1+

2 2

3

)．

（1）对题设条件中的恒等式进行赋值，即可求出f（

1

9

）的值；
（2）利用题设条件将f（x）+f（2-x）＜2这为f[x（2-x）]＜f（

1

9

），再利用函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数解不等式

本题考点：奇偶性与单调性的综合．

考点点评：本题考查抽象函数及其应用，考查了根据恒等式的形式以及要求的值灵活赋值求函数值的能力，以及利用函数的性质解不等式的能力，求解本题的关键是恰当赋值，求解第二问时恰当的变形是解题的关键，在根据单调性转化时要注意转化的等价，不要忘记定义域的限制条件．