题目

【选修4-4　不等式证明】
设a、b、c均为正实数，求证：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

提问时间：2020-07-25

答案

证明：∵a、b、c均为正实数．
∴

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）≥

1

2 ab

≥

1

a+b

，当a=b时等号成立；

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）≥

1

2 bc

≥

1

b+c

，当b=c时等号成立；

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）≥

1

2 ca

≥

1

c+a

，当a=c时等号成立；
三个不等式相加即得

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

，
当且仅当a=b=c时等号成立．

该题是轮换式不等式的证明，可以利用基本不等式证得

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）≥

1

2 ab

≥

1

a+b

，

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）≥

1

2 bc

≥

1

b+c

，

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）≥

1

2 ca

≥

1

c+a

，将三式相加可证得结论．

本题考点：不等式的证明．

考点点评：本题主要考查了不等式的证明，以及基本不等式的应用，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．