题目

已知关于x、y的方程组

x2−y+k＝0 (1) (x−y)2−2x+2y+1＝0 (2)

有两个不相同的实数解．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若

x＝x1 y＝y1

和

x＝x2 y＝y2

是方程组的两个不相同的实数解，是否存在实数k，使得y_ly₂-

x1

x2

-

x2

x1

的值等于2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

提问时间：2020-07-25

答案

（1）由②得（x-y-1）²=0，x-y-1=0，y=x-1   ③，
把③代入①，得x²-x+1+k=0 ④，
方程组要有两个不相同的实数解，则该方程有两个不相等的实数根，
∴△=1-4-4k＞0，
解得k＜-

3

4

．
（2）根据根与系数的关系，得x_lx₂=1+k，x_l+x₂=1．
∴y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=x_lx₂-（x_l+x₂）+1=1+k．
则有1+k-

1−2−2k

1+k

=2，
解得k=0或k=-2，
经检验0和-2都是方程的解．
根据（1）中的取值范围，k=0应舍去，
∴取k=-2．

（1）通过消元得到一元二次方程，根据△＞0，求得k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系，把y_ly₂-

x1

x2

-

x2

x1

转化为关于k的方程，解方程即可求得k的值．

本题考点：根与系数的关系；根的判别式；解分式方程．

考点点评：讨论方程组的解的情况时，要把方程组转化为方程，利用根的判别式进行讨论；熟练运用一元二次方程的根与系数的关系，把含有未知数的代数式变成含有k的式子进行解方程，最后还要注意k的取值范围．