题目

有关
例2设数列{an}满足a（n+1）=（an）²-n(an)+1,n=1,2,3,…
(1)当a1=2时,求a2,a3,a4,由此猜想出an的一个通项公式,并证明
(2)当a1≥3时,证明对所有的n≥1,有an≥n+2
(1)由a1=2得a2=a1²-a1+1=3
同理可得：a2=3、a3=4、a4=5
由此猜想an的一个通项公式：an=n+1 (n≥1)
证明：①当n=1时,a1=2=1+1
∴n=1时,猜测正确
②假设n=k时,猜测正确,即ak=k+1
∵an+1=an²-nan+1
∴ak+1=ak²-kak+1=(k+1)²-k(k+1)+1=(k+1)+1
即n=k+1时,猜测正确
由①②知对n∈N*都有an=n+1
(2)①当n=1,a1≥3=1+2,不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立,即ak≥k+2,
那么,ak+1=ak(ak-k)+1
≥(k+2)(k+2-k)+1
=2k+4+1≥(k+1)+2
也就是说,当n=k+1时,原不等式成立
根据①和②,对于所有n≥1,有an≥n+2
在第②问中,ak+1=ak(ak-k)+1,如果由①问中得出的数列通式：an=n+1 (n≥1) 得出ak+1=ak(ak-k)+1=（k+1)（k+1-k)+1=K+2则小于（k+1)+2了

提问时间：2020-07-25

答案

第一问和第二问前提就不一样（第一问当a1=2时,第二问当a1≥3时,）,它们没关系,第二问不能直接能第一问得出的结论.