题目
设角A,B,C为三角形ABC的三个内角,已知cos(B+C)+sin^2(A/2)=5/4.
(1)求角A的大小;(2)若AB×AC=-1,求BC边上的高AD长的最大值
(1)求角A的大小;(2)若AB×AC=-1,求BC边上的高AD长的最大值
提问时间:2020-07-24
答案
第一个问题:
∵cos(B+C)+[sin(A/2)]^2=5/4,∴2cos(B+C)+2[sin(A/2)]^2=5/2,
∴2cos(180°-A)+1-cosA=5/2,∴-2cosA+1-cosA=5/2,∴3cosA=1-5/2=-3/2,
∴cosA=-1/2,∴A=120°.
第二个问题:
∵cosA=向量AB·向量AC/(AB×AC)=-1/2,∴-1/(AB×AC)=-1/2,∴AB×AC=2,
∴S(△ABC)=(1/2)AB×ACsinA=(1/2)BC×AD,∴BC×AD=2sin120°=√3.
显然,当BC取最小值时,AD有最大值.
由余弦定理,有:
BC^2
=AB^2+AC^2-2AB×ACcosA=(AB+AC)^2-2AB×AC-2AB×ACcosA
≧[2√(AB×AC)]^2-2AB×AC-2AB×ACcosA=4AB×AC-2AB×AC-2AB×ACcosA
=2AB×AC-2AB×ACcosA=2√3-2√3×(-1/2)=2√3+√3=3√3=3^(3/2),
∴BC的最小值=3^(3/4),∴AD的最大值=√3/[3^(3/4)]=3^(1/2-3/4)=1/3^(1/4).
∵cos(B+C)+[sin(A/2)]^2=5/4,∴2cos(B+C)+2[sin(A/2)]^2=5/2,
∴2cos(180°-A)+1-cosA=5/2,∴-2cosA+1-cosA=5/2,∴3cosA=1-5/2=-3/2,
∴cosA=-1/2,∴A=120°.
第二个问题:
∵cosA=向量AB·向量AC/(AB×AC)=-1/2,∴-1/(AB×AC)=-1/2,∴AB×AC=2,
∴S(△ABC)=(1/2)AB×ACsinA=(1/2)BC×AD,∴BC×AD=2sin120°=√3.
显然,当BC取最小值时,AD有最大值.
由余弦定理,有:
BC^2
=AB^2+AC^2-2AB×ACcosA=(AB+AC)^2-2AB×AC-2AB×ACcosA
≧[2√(AB×AC)]^2-2AB×AC-2AB×ACcosA=4AB×AC-2AB×AC-2AB×ACcosA
=2AB×AC-2AB×ACcosA=2√3-2√3×(-1/2)=2√3+√3=3√3=3^(3/2),
∴BC的最小值=3^(3/4),∴AD的最大值=√3/[3^(3/4)]=3^(1/2-3/4)=1/3^(1/4).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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