题目

已知数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,a(n+1)=[(n+2)/n]Sn,证明:(1)数列{Sn/n}是等比数列；(2)S(n+1)=4Sn

提问时间：2020-07-24

答案

证：由a1=1,an+1=[(n+2)/n]Sn（n=1,2,3)
知a2=3a1
S2/2=4a1/2=2
S1/1=1
∴(S2/2)/(S1/1)=2
又an+1=Sn+1-Sn（n=1,2,3,…）
则Sn+1-Sn=[(n+2)/n]Sn
∴nSn+1=2（n+1）Sn
(Sn+1/n+1)/(Sn/n)=2（n=1,2,3,…）
故数列{Sn/n}是首项为1,公比为2的等比数列
证明：Sn+1=4an．当n=1时,S2=a1+a2=4a1,等式成立
由（1）知：Sn/n=1×2^(n-1)
∴Sn=n2^(n-1)
当n≥2时,4an=4（Sn-Sn-1）=2^n（2n-n+1）=（n+1）2^n=Sn+1,等式成立
因此对于任意正整数n≥1都有Sn+1=4an