题目

已知函数f（x）=x+

1

x

提问时间：2020-07-24

答案

（1）f（x）=x+

1

x

为定义域内的奇函数．
证明如下：
∵函数f（x）=x+

1

x

的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又f（-x）=-x+

1

−x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
∴f（x）=x+

1

x

为定义域内的奇函数；
（2）证明：设x₁，x₂是（0，1）内的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f(x1)−f(x2)＝x1+

1

x1

−(x2+

1

x2

)=(x1−x2)−

x1−x2

x1x2

=(x1−x2)(1−

x1−x2

x1x2

)．
∵x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，
∴x1−x2＜0，1−

1

x1x2

＜0．
则(x1−x2)(1−

1

x1x2

)＞0．
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上为减函数．