题目

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2根号2,角PAB=60度.
(1)证明AD垂直平面PAB
（2）求异面直线PC与AD所成角的大小
（3）求二面角P-BD-A的的大小
用向量方法做

提问时间：2020-07-24

答案

：（1）在△PAD中,由题设PA=AD=2,PD=2
2 ,可得PA 2 AD 2 =PD 2 ,于是AD⊥PA…
∵在矩形ABCD中,AD⊥AB,PA、AB是平面PAB内的相交直线
∴AD⊥平面PAB；…
（2）由题设,BC∥AD,
所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．
在△PAB中,由余弦定理得
PB=P A 2 A B 2-2PA•AB•cosPAB = 7
由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB,PB⊂平面 PAB,
所以AD⊥PB,因而BC⊥PB,于是△PBC是直角三角形,故tanPCB=PB BC=「7／ 2 ．
所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan「7／ 2 ．（3）∵AD⊥平面PAB,AD⊂平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面PAB
分别以AB、AD为x、y轴建立如图坐标系,
根据平面ABCD⊥平面PAB且∠PAB=60°得P（1,0,
3 ）,B（3,0,0）,
D（0,2,0）
∴
PD =（-1,2,-「3 ）,
PB =（2,0,-「 3 ）
设平面PBD的一个法向量为
n =（x,y,z）,
∴n •PB =2x-「3
z=0n •PD =-x 2y-
「3 z=0 ,取x=2 「3 ,得
n =（2「3 ,3「3 ,4）,
又∵平面PAB的一个法向量为
AD =（0,2,0）
∴cos＜AD ,n ＞=
AD •n／ | AD |•|n | =6 「3
／55 •2 =
3 「165 ／55
因此,二面角A-PB-D的余弦值等于
3 「165 ／55 …
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