题目

拉格朗日中值定理证明的辅助函数怎么理解
辅助函数是：F(x)=f(x)-{f(a)+[f(b)-f(a)]/(b-a)*(x-a)} 求具体得到这个函数的过程

提问时间：2020-07-24

答案

其实这个辅助函数F(X)=f(x)-h(x)
h(x)={f(a)+[f(b)-f(a)]/(b-a)*(x-a)}  就是一条过(a,f(a))和(b,f(b))的直线
换句话说,也就是一个连接AB两点的曲线f(x)  （A表示(a,f(a)),B表示(b,f(b))）
减去连结AB两点的直线h(x)
我附个图

图中曲线是f(X),直线是h(x),两个函数相减就是F(X)
而拉格朗日中值定理的直观图像就是图中存在图像上某个点的切线
（如图虚线）使得切线平行于AB,从图里面可以很直观的看出
而证明过程中用到辅助函数是为了把拉格朗日中值定理的情况化成罗尔中值定理的情况
你可以看出来,减去h(x)以后,f(x)变成F(X),（不妨把h(x)写成kx+l)
则F(x)的导数=f（x）的导数-k
k是AB两点连线的斜率,要证明存在一点s使得f‘（s）=k,也就是证明存在一点s使得F(s）=0
由于F在x=a和x=b两点函数值为0,所以化成了罗尔中值定理的情况
有什么问题可以提问