题目

已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

提问时间：2020-07-13

答案

（Ⅰ）由3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1
∴3a_n=5a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*）
∴

an

an−1

＝

1

2

，（n≥2，n∈N^*），
所以数列{a_n}是以2为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴a_n=2^2-n
（Ⅱ）b_n=（2n-1）•2^2-n
∴T_n=1×2+3×2⁰+5×2^-1++（2n-1）•2^2-n
同乘公比得

1

2

Tn＝1×20+3×2−1+5×2−2++(2n−1)•21−n
∴

1

2

Tn＝1×2+2×20+2×2−1+2×2−2++2•22−n−(2n−1)21−n
=2+4[1−(

1

2

)n−1]−(2n−1)•21−n
∴T_n=12-（2n+3）•2^2-n．