题目

已知函数f(x)=log2(x+1/x-1)+log2(x-1)+log2(p-x) (1)求函数f(x)的定义域 (2)求函数f(x)的值域
定义域是（1,p）,第一问我会,第二问答案是：当(p-1)/2<1 时当x=1时有-[x-(p-1)/2]²+(p+1)²/4有最大值为2(p-1)；当1<(p-1)/2

此时函数的值域为：(-∞,log2[(p+1)²/4] ]
此时函数的值域为：(-∞,log2[2(p-1)] ]
我想问为什么值域没有最小值

提问时间：2020-07-13

答案

很简单,f(x)=log2(x+1/x-1)+log2(x-1)+log2(p-x)=log2((x+1)(x-1)*(x-1)*(p-x))=log2((x+1)*(p-x))
=log2(-x²+(p-1)x+p)(别说你不会这个公式,教材上的),这就好办多了,x的范围是（1,p）,log2是单调递增的,就相当于求的是-x²+(p-1)x+p在开区间(1,p)上的最值,这不很简单了吗!对称轴是x=-(p-1)/-2=(p-1)/2,这时就要分以下3种情况来分类讨论：

当(p-1)/2>=p即该区间在对称轴左侧时,结合p>1,很容易得知这显然是不可能的!

当(p-1)/2<=1即使该区间在对称轴右侧时,p<=3时,令u(x)=-x²+(p-1)x+p,该抛物线开口向下,在(1,p)内是单调递减的,因此值域为(u(p),u(1)),即(0,2p-2) ,因此f(x)的值域是log2(-∞,log2(2p-2)).

当1<(p-1)/2<=p,即该区间在对称轴两侧时,这时p>3.这个时候,对称轴在该区间内部,因此有最大值,是当x=(p-1)/2时,max=u((p-1)/2)= (p+1)²/4,显然,f(x)的值域为：
(-∞,log2(p+1)²/4].
由以上可知：f(x)是有最大值的,但是没有最小值.还有就是,当x=1时,那个log2(2(p-1))不是最大值,因为是开区间,那只是一个上界值.