题目

已知函数f（x）=3^x，且f^-1（18）=a+2，g（x）=3^ax-4^x的定义域为[0，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（x）的单调区间，确定其单调性并用定义证明；
（3）求g（x）的值域．

提问时间：2020-07-13

答案

（1）∵f（x）=3^x且f（a+2）=3^a+2=18，
∴3^a=2．
∴g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x，
∴g（x）=2^x-4^x．
（2）∵函数g（x）的定义域为[0，1]，令t=2^x，
∵x∈[0，1]，函数t在区间[0，1]上单调递增，
且t∈[1，2]，则g（x）=t-t²在[1，2]上单调递减，
∴g（x）在[0，1]上单调递减．
证明如下：设x₁，x₂∈[0，1]且x₁＜x₂，则
g（x₂）-g（x₁）
=2x2−4x2−2x1+4x1=(2x2−2x1)(1−2x2−2x1)
∵0≤x₁＜x₂≤1，
∴2x2＞2x1，
且1≤2x1＜2，1＜2x2≤2．
∴2＜2x1+2x2＜4．
∴−3＜1−2x1−2x2＜−1，可知(2x2−2x1)•(1−2x2−2x1)＜0．
∴g（x₂）＜g（x₁）．
∴函数g（x）在[0，1]上为减函数．
（3）∵g（x）在[0，1]上为减函数，
又x∈[0，1]，
故有g（1）≤g（x）≤g（0）．
∵g（1）=-2，g（0）=0，
∴函数g（x）的值域为[-2，0]．