题目

关于x的一元二次方程x²-2ax+a+2=0，当a为何实数时，
（1）有两不同正根；
（2）不同两根在（1，3）之间；
（3）有一根大于2，另一根小于2；
（4）在（1，3）内有且只有一解．

提问时间：2020-06-28

答案

（1）∵方程有两不同正根，
∴

△＝4a2−4(a+2)＞0 2a＞0 a+2＞0

，
∴a＞2；
（2）∵不同两根在（1，3）之间，
∴

△＞0 1＜a＜3 1−2a+a+2＞0 9−6a+a+2＞0

，
∴2＜a＜2.2；
（3）∵方程有一根大于2，另一根小于2，
∴2²-4a+a+2＜0，
∴a＞2；
（4）令f（x）=x²-2ax+a+2，对称轴为x=a．
①当1＜a＜3时，有两个相等的解，需△=4a²-4（a+2）=0
即a²-a-2=0
解得a=2或a=-1，
∵1＜a＜3，
∴a=2符合题意；
②若方程在（1，3）内有且只有一解
则需f（1）f（3）＜0
即（-a+3）（-5a+11）＜0
∴（a-3）（5a-11）＜0
解得2.2＜a＜3；
③当a=3时，f（x）=x²-6x+5
f（3）＜0，f（1）=0不符合题意
a=2.2时，f（3）=0，f（1）＞0符合题意
∴a=2或2.2≤a＜3．

（1）根据方程有两不同正根，可得

△＝4a2−4(a+2)＞0 2a＞0 a+2＞0

，解不等式，可得结论；
（2）根据不同两根在（1，3）之间，可得

△＞0 1＜a＜3 1−2a+a+2＞0 9−6a+a+2＞0

，解不等式，可得结论；
（3）由方程有一根大于2，另一根小于2，可得2²-4a+a+2＜0，解不等式，可得结论；
（4）令f（x）=x²-2ax+a+2，对称轴为x=a．分类讨论，当1＜a＜3时，有两个相等的解；方程在（1，3）内有且只有一解，再考虑端点，即可得出结论．

本题考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评：本题考查一元二次方程的根的分布于系数的关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．