题目

已知数列{an}的前N项和为Sn 且an+1=Sn-n+3,a1=2,.求an的通项公式
我用Sn+1-Sn得出 2an - 1=an+1 ,根据这个式子当n=1时算出a2=3. 可是根据上边的式子 an+1=Sn-n+3算出a2=4 .感觉这个推理是等价的啊为什么两个结果不一致呢.求数学帝解惑、

提问时间：2020-06-25

答案

我认为问题出在n的取值范围上
an+1=Sn-n+3,此时n的取值范围是n≥1
an=Sn-1-n+4此时n的取值范围是n≥2
所以两者必须先统一n的范围才能够相减
所以应该为2an-1=an+1(n≥2）
故不能将n=1代入上式.
2an-1=an+1(n≥2）
即(an+1-1)-2(an-1)=0
令an-1=bn
则bn+1-2bn=0
(bn+1)/bn=2
故bn是等比数列
b1=a1-1=1
所以bn=2^(n-1)
所以an=bn+1=2^(n-1)+1(n≥2）
这时才能将n=1代入检验
a1=1+1=2,符合上式
所以an=2^(n-1)+1