题目

已知一个圆C：x²+y²+4x-12y+39=0和一条直线L：3x-4y+5=0，求圆C关于直线L的对称的圆的方程．

提问时间：2020-06-25

答案

已知圆方程可化成（x+2）²+（y-6）²=1，它的圆心为P（-2，6），
半径为1设所求的圆的圆心为P'（a，b），
则PP'的中点(

a−2

2

，

b+6

2

)应在直线L上，
故有3(

a−2

2

)−4(

b+6

2

)+5＝0，即3a-4b-20=0（1）
又PP'⊥L，故有

b−6

a+2

•

3

4

＝−1，即4a+3b-10=0（2）
解（1），（2）所组成的方程，得a=4，b=-2
由此，所求圆的方程为（x-4）²+（y+2）²=1，即：
x²+y²-8x+4y+19=0．

求出已知圆的圆心，设出对称圆的圆心利用中点在直线上，弦所在直线与圆心连线垂直，得到两个方程，求出圆心坐标，然后求出方程．

本题考点：关于点、直线对称的圆的方程．

考点点评：本题是基础题，考查圆关于直线对称的圆的方程，本题的关键是垂直、平分关系的应用，这是解决这一类问题的常用方法，需要牢记．