题目

【高考】用分析法证明:若a>0,则根号(a^2+1/a^2)-根号2≥a+(1/a)-2

提问时间：2020-06-19

答案

题目：【高考】用分析法证明:若a>0,则a^2+1/a^2 -√2>a+1/a-2.
证明：要证a^2+1/a^2 -√2>a+1/a-2.
只要证a^2+1/a^2 +2>a+1/a+√2.也即〖（a+1/a）〗^2>a+1/a+√2
令a+ 1/a=t,则不等式转化为t^2-t-√2>0,其中a+ 1/a=t≥2√a∙1/a=2.
令f(t)= t^2-t-√2,(t≥2)
配方得：f(t)=〖（t-1/2）〗^2-1/4-√2,所以二次函数的对称轴为x=1/2,所以f(t)在区间（1/2,+∞）为增函数.
因此〖f(t)〗_min=f(2)=2-√2>0.
所以：f(t)>0即a^2+1/a^2 -√2>a+1/a-2.（得证）