题目

证明：1、任两个奇数的平方差都能被8整除.2、任意12个不同的自然数必有两个数的和或差是20的倍数.

提问时间：2020-06-13

答案

1楼的第2题原理正确,但过程错误.
1、设两个奇数分别为2m+1和2n+1,且m>n
则: (2m+1)^2-(2n+1)^2=(2m+2n+2)(2m-2n)
=4(m+n+1)(m-n)
因为m+n+1和m-n中必有一个是偶数,所以任两个奇数的平方差都能被8整除.
2、第二个利用抽屉原理,12个不同的自然数除以20的余数共有20种可能,而如果有相同的余数,就做差； 如果任何两个余数都不同,则将余数之和是二十的做为一个抽屉,这样共有11个抽屉,其中1+19,2+18,……,9+11这9个抽屉余数之和都是20,另外还有余数为0和10的2个抽屉!显然12个自然数按照其余数放进这11个抽屉必至少有一个抽屉有2个自然数,从而证明了任意12个不同的自然数必有两个数的和或差是20的倍数.
其实,题目可以加强为:任意12个不同的自然数必有两个数的和是20的倍数.