题目

已知正整数数列an的前n项和为sn,且对任意的正整数n满足2根号下2sn=an+2求证an是等差数列
若bn=（1/2）an-30求数列bn的前n项和的最小值

提问时间：2020-10-20

答案

两边平方,得（an+2)^2/4=2Sn,两边同时除2,得Sn=（an+2)^2/8,
S_(n+1)-Sn=a_(n+1)=[（a_(n+1)+2)^2-（an+2)^2]/8,
完全平方式化成三项式后相减,化简得,（a_(n+1)-an-4）*(a_(n+1)+an)=0
由于各项均为整数,故(a_(n+1)+an)不能等于0,所以（a_(n+1)-an-4）=0,所以a_(n+1)-an=4
{an}为以4为公差的等差数列,an=a1+（n-1）*4
现在求a1,由于a1=S1,所以,（a1+2）^2/4=2*a1,求得a1=2,
所以an=a1+（n-1）*4=4n-2
bn=an/2-30=2n-31
b1=-29
Sn=(b1+bn)n/2=(-29+2n-31)n/2=n^2-30n=(n-15)^2-225
所以,当n=15时,和Sn有最小值是：-225