题目

已知函数f(x)=(1/3)x,函数g(x)=log1/3x
(1)若函数y=g(mx2+2x+m)的值域为R,求实数M的取值范围
（2）当x[-1,1]时,求函数y=[f(x)]*2-2af(x)+3的最小值h(a)
(3)是否存在非负实数m,n,使得函数y=g(f(x))的定义域为[m,n],值域为[2m,2n].若存在,求出m、n的值;若不存在,则说明理由.

提问时间：2020-06-13

答案

分析：1）欲使函数y=g（mx*2+2x+m）的值域为R,只需要内层函数的值域中包含了全体正数,当m=0时显然满足,当m不为0时,内层函数为二次函数,需要开口向上且判别式大于等于0,即可满足要求．
（2）x∈[-1,1]时,求函数y=[f（x）]*2-2af（x）+3是一个复合函数,复合函数的最值一般分两步来求,第一步求内层函数的值域,第二步研究外层函数在内层函数值域上的最值,本题内层函数的值域是确定的一个集合,而外层函数是一个系数有变量的二次函数,故本题是一个区间定轴动的问题．
（3）假设存在,先求出函数y=g[f（x*2）]的解析式,为y=x*2,则函数在[m,n]上单调增,故有[m*2,n*2]=[2m,2n]解出m,n的值说明假设成立,若解不出,则说明假设不成立．
1）①当m=0时,满足条件； ②当m≠0时,有 m＞0,△≥0 ⇒0＜m≤1 综上可得,0≤m≤1．
2）令f(x)=t(1/3≤t≤3),则y=t*2-2at+3=（t-a）*2+3-a*2
①当a＜1/3时,h(a)=28/9 -2/3 a
②当1/3≤a≤3时,h（a）=3-a*2
③当a＞3时,h（a）=12-6a
故h（a）=28/9-2/3 a a＜1/3,
3-a*2 1/3≤a≤3,
12-6a a＞3,
3）假设存在实数m,n满足条件,则有0≤m＜n,
化简可得函数表达式为y=x2,则函数在[m,n]上单调递增,
故值域为[m*2,n*2]=[2m,2n]
解得m=0,n=2
故存在m=0,n=2满足条件．